Сопротивление и импеданс в цепи переменного тока

Хотите создать сайт? Найдите бесплатные темы и плагины для WordPress. Соотношение i -v резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности может быть выражено в векторной нотации. В качестве векторов каждое отношение iv принимает форму обобщенного закона Ома: V = IZV = IZ, где величина Z фазора известна как импеданс. Для резистора, катушки индуктивности и конденсатора импедансы, соответственно: ZR = RZL = jωLZC = 1jωC = −jωCZR = RZL = jωLZC = 1jωC = −jωC Комбинации резисторов, катушек индуктивности и емкости могут быть представлены одним эквивалентным сопротивлением. вида: Z (jω) = R (jω) + jX (jω) единиц Ω (Ом) Z (jω) = R (jω) + jX (jω) единиц Ω (Ом) где R (jω) и X (jω) известны как части «сопротивления» и «реактивного сопротивления» соответственно эквивалентного импеданса Z. Оба члена, как правило, являются функциями частоты ω. Полная проводимость определяется как величина, обратная импедансу. Y = 1Z единиц S (Сименс) Y = 1Z единиц S (Сименс) Следовательно, все отношения цепей постоянного тока и методы, представленные в главе 3, могут быть распространены на цепи переменного тока. Таким образом, нет необходимости изучать новые методы и формулы для решения цепей переменного тока; нужно только научиться пользоваться теми же приемами и формулами с фазорами. Обобщенный закон Ома. Концепция импеданса отражает тот факт, что конденсаторы и катушки индуктивности действуют как частотно-зависимые резисторы. На рисунке 1 изображена типовая цепь переменного тока с вектором VS источника синусоидального напряжения и импедансной нагрузкой Z, которая также является вектором и представляет собой эффект типовой сети резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Рисунок 1 Концепция импеданса Результирующий ток I представляет собой вектор, определяемый: V = IZ Обобщенный закон Ома (1) V = IZ Обобщенный закон Ома (1) Конкретное выражение для импеданса Z находится для каждой конкретной сети резисторов, конденсаторов и индукторы присоединены к источнику. Чтобы определить Z, сначала необходимо определить полное сопротивление резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, используя: Z = VID Определение полного сопротивления (2) Z = VID Определение полного сопротивления (2) После определения полного сопротивления каждого резистора, конденсатора и катушки индуктивности в сети. Как известно, их можно комбинировать последовательно и параллельно (используя обычные правила для резисторов), чтобы сформировать эквивалентный импеданс, «видимый» источником. Импеданс резистора Соотношение iv для резистора - это, конечно, закон Ома, который в случае синусоидальных источников записывается как (см. Рисунок 2): Рисунок 2 Для резистора VR (t) = iR (t) R vR (t) = iR (t) R (3) vR (t) = iR (t) R (3) или, в векторной форме, VRejωt = IRejωtRVRejωt = IRejωtR, где VR = VRejθtVR = VRejθt и IR = IRejθtIR = IRejθt являются фазоры. Обе части приведенного выше уравнения можно разделить на ejωt, чтобы получить: VR = IRR (4) VR = IRR (4) Импеданс резистора затем определяется из определения импеданса: ZR = VRIR = R (5) ZR = VRIR = R (5) Таким образом: ZR = R Полное сопротивление резистора Полное сопротивление резистора является действительным числом; то есть он имеет величину R и нулевую фазу, как показано на рисунке 2. Фаза импеданса равна разности фаз между напряжением на элементе и током через тот же элемент. В случае резистора напряжение полностью совпадает по фазе с током, что означает отсутствие временной задержки или временного сдвига между формой волны напряжения и формой волны тока во временной области. Рисунок 2 - Векторная диаграмма импеданса резистора. Помните, что Z = V / L. Важно помнить, что векторные напряжения и токи в цепях переменного тока являются функциями частоты, V = V (jω) и I = I (jω). Этот факт имеет решающее значение для определения полного сопротивления конденсаторов и катушек индуктивности, как показано ниже. Импеданс индуктора Соотношение iv для индуктора (см. Рисунок 3): Рисунок 3 Для катушки индуктивности vL (t) = LdiL (t) dt (6) vL (t) = LdiL (t) dt (6) При этом момент, важно действовать осторожно. Выражение во временной области для тока через катушку индуктивности: iL (t) = ILcos (ωt + θ) (7) iL (t) = ILcos⁡ (ωt + θ) (7) Таким образом, что ddtiL (t) = - ILωsin (ωt + θ) = ILωcos (ωt + θ + π / 2) = Re (ILωejπ / 2ejωt + θ) = Re [IL (jω) ejωt + θ] ddtiL (t) = - ILωsin⁡ (ωt + θ) = ILωcos⁡ (ωt + θ + π / 2) = Re⁡ (ILωejπ / 2ejωt + θ) = Re⁡ [IL (jω) ejωt + θ] Обратите внимание, что чистым эффектом производной по времени является создание дополнительных (j ω) вместе с комплексным экспоненциальным выражением iL (t). То есть: частотная область временной области d / dtd / dt jωjω Следовательно, векторный эквивалент отношения iv для индуктора: VL = L (jω) IL (8) VL = L (jω) IL (8) Импеданс индуктор затем определяется из определения импеданса: ZL = VLIL = jωL (9) ZL = VLIL = jωL (9) Таким образом: ZL = jωL = ωL∠π2 Импеданс индуктора (10) ZL = jωL = ωL∠π2 Импеданс катушки индуктивности (10) Импеданс катушки индуктивности - положительное, чисто мнимое число; то есть она имеет величину ωL и фазу π / 2 радиан или 90 °, как показано на рисунке 4. Как и раньше, фаза импеданса равна разности фаз между напряжением на элементе и током через тот же элемент. В случае катушки индуктивности напряжение опережает ток на π / 2 радиан, что означает, что особенность (например, точка пересечения нуля) формы волны напряжения возникает на T / 4 секунды раньше, чем такая же особенность формы волны тока. Т - общий период. Обратите внимание, что индуктор ведет себя как сложный частотно-зависимый резистор, и его величина ωL пропорциональна угловой частоте ω. Таким образом, катушка индуктивности будет «препятствовать» протеканию тока пропорционально частоте исходного сигнала. На низких частотах индуктор действует как короткое замыкание; на высоких частотах он действует как разомкнутый контур. Рисунок 4 - Векторная диаграмма импеданса катушки индуктивности. Помните, что Z = V / L импеданс конденсатора. Принцип двойственности предполагает, что процедура определения импеданса конденсатора должна быть зеркальным отображением процедуры, показанной выше для катушки индуктивности. Соотношение iv для конденсатора (см. Рисунок 5): Рисунок 5 Для конденсатора iC (t) = CdvC (t) dt (11) iC (t) = CdvC (t) dt (11) Выражение во временной области для напряжение на конденсаторе: vC (t) = VCcos (ωt + θ) (12) vC (t) = VCcos⁡ (ωt + θ) (12) Таким образом, что ddtvC (t) = - VCωsin (ωt + θ) = VCωcos (ωt + θ + π / 2) = Re (VCωejπ / 2ejωt + θ) = Re [VC (jω) ejωt + θ] ddtvC (t) = - VCωsin⁡ (ωt + θ) = VCωcos⁡ (ωt + θ + π / 2) = Re⁡ (VCωejπ / 2ejωt + θ) = Re⁡ [VC (jω) ejωt + θ] Обратите внимание, что в конечном итоге производная по времени создает дополнительный член (j ω) вместе с комплексное экспоненциальное выражение vC (t). Следовательно, векторный эквивалент отношения iv для конденсатора: IC = C (jω) VC (13) IC = C (jω) VC (13) Импеданс катушки индуктивности затем определяется из определения импеданса: ZC = VCIC = 1jωC = −jωC (14) ZC = VCIC = 1jωC = −jωC (14) Таким образом: ZC = 1jωC = −jωC = 1ωC∠ − π2 (15) ZC = 1jωC = −jωC = 1ωC∠ − π2 (15) Импеданс конденсатора - отрицательное, чисто мнимое число; то есть она имеет величину 1 / ωC и фазу −π / 2 радиан или −90o, как показано на рисунке 6. Как и раньше, фаза импеданса равна разности фаз между напряжением на элементе и током через тот же элемент. В случае конденсатора напряжение отстает от тока на π / 2 радиан, что означает, что особенность (например, точка пересечения нуля) формы волны напряжения возникает на T / 4 секунды позже, чем такая же особенность формы волны тока. . T - общий период каждой формы волны. Рисунок 6 - Векторная диаграмма импеданса конденсатора. Помните, что Z = V / L. Обратите внимание, что конденсатор также ведет себя как комплексный частотно-зависимый резистор, за исключением того, что его величина 1 / ωC обратно пропорциональна угловой частоте ω. Таким образом, конденсатор будет «препятствовать» протеканию тока обратно пропорционально частоте источника. На низких частотах конденсатор действует как разомкнутый контур; на высоких частотах действует как короткое замыкание. Обобщенный импеданс. Концепция импеданса очень полезна при решении задач анализа цепей переменного тока. Он позволяет применять сетевые теоремы, разработанные для цепей постоянного тока, к цепям переменного тока. Единственное отличие состоит в том, что для нахождения эквивалентного импеданса необходимо использовать комплексную арифметику, а не скалярную арифметику. На рисунке 7 изображены ZR (jω), ZL (jω) и ZC (jω) на комплексной плоскости. Важно подчеркнуть, что, хотя сопротивление резисторов чисто реальное, а импеданс конденсаторов и катушек индуктивности чисто мнимое, эквивалентный импеданс источника в произвольной цепи может быть сложным. Рисунок 7 Импеданс R, L и C показаны в комплексной плоскости. Импедансы в правом верхнем квадранте индуктивные, а в правом нижнем - емкостные. Z (jω) = R + X (jω) (16) Z (jω) = R + X (jω) (16) Здесь R - сопротивление, а X - реактивное сопротивление. Единицей измерения R, X и Z является ом. Допуск. Было высказано предположение, что решение некоторых задач анализа цепей легче решать с точки зрения проводимости, чем сопротивления. Это верно, например, когда используется анализ узлов или в цепях с множеством параллельных элементов, поскольку проводимость при параллельном соединении увеличивается так же, как и резисторы, включенные последовательно. При анализе цепи переменного тока может быть определена аналогичная величина - величина, обратная комплексному импедансу. Точно так же, как проводимость G была определена как величина, обратная сопротивлению, проводимость Y определяется как величина, обратная импедансу: Y = 1Z единиц S (Сименс) (17) Y = 1Z единиц S (Сименс) (17) Всякий раз, когда полное сопротивление Z чисто В действительности проводимость Y идентична проводимости G. Однако в целом Y сложен. Y = G + jB (18) Y = G + jB (18) где G - проводимость переменного тока, а B - проводимость, которая аналогична реактивному сопротивлению. Ясно, что G и B связаны с R и X; однако это соотношение не является просто обратным. Если Z = R + jX, то адмиттанс равен: Y = 1Z = 1R + jX (19) Y = 1Z = 1R + jX (19) Умножим числитель и знаменатель на комплексное сопряжение Z ̄ = R - jX: Y = ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ = R − jXR2 + X2 (20) Y = Z¯Z¯Z = R − jXR2 + X2 (20) и заключаем, что G = RR2 + X2 (21) B = −XR2 + X2G = RR2 + X2 (21) B = −XR2 + X2 Обратите внимание, в частности, что G не является обратной величиной R в общем случае! Нашли апк для андроид?

Оставить сообщение 

Список сообщений